２０１７/6/9 駒形圭祐
１－１よく使われるｎ進数
コンピュータでよく使われるのは２進数と８進数と１６進数。
２進数の２という数字は「桁が進む数」を表す。
８進数と１６進数も基本同じ。
基数と桁の重みについて
基数→ｎ進数のｎにあたる数字。
例）２進数なら２ １６進数なら１６
重み→１、１０、１００のように１が１桁左に行くと、
基数ｎの（桁数-１）乗をおこなった数字になる。
例）基数２の場合
１桁目→２＾０＝１ ２桁目→２＾１＝２
３桁目→２＾２＝４ ４桁目→２＾３＝８
小数点以下第一位→２＾-１＝２分の１
小数点以下第二位→２＾-２＝４分の１
１－２ 基数変換
①ｎ進数から１０進数への基数変換
各桁の数に重みを掛けた数を計算しそれを合計する。
例）２進数 １１０１．０１１ を１０進数にする。
8+4+0+1+0+0.25+0.125なので
２進数１１０１．０１１を１０進数にすると13.375になります。
②10進数からｎ進数への基数変換
■整数部
→基数で商が０になるまで割り算した余りを下から上位ビットに入れる。
■小数部
→基数で小数部が０になるまで掛け算した整数部分を上位ビットに入れる。
例）13.375を2進数に変換
●整数部 13/2=6余り1 6/2=3余り0 3/2=1余り1 1/2=0余り1
余りを下から入れていくと1101
●小数部 0.375*2＝0.75 0.75*2=1.5 ０.5*2=1.0
整数部分を入れていくと011
なので1101.011になります
③２進数と８進数と１６進数の基数変換
まず前情報として、
８進数は２進数３桁で表せます。
なぜなら２進数３桁で７まで表せるから。２進数１１１＝７。
１６進数も同じように２進数４桁で表せます。
なぜなら２進数４桁で１５まで表せるから。２進数１１１１＝１５
なので、もし２進数を８進数に直したいのなら２進数を
３桁に区切ればその区切った桁一つ一つが８進数の一桁にあたります。
例）２進数１０１１．０１を８進数にする。
まず、２進数を３桁ずつに区切ります。
（０が足りないところは付け足してOKです。）
↓（）は０を付け足したところ
２進数 (００)１ ０１１ . ０１（０）
8進数 １ ３ ２
それぞれを１０進数にすると１ ３ ２になるので
２進数１０１１．０１を８進数にすると１３．２になります。
１６進数も同じように４桁に区切り同じように計算します。
２進数１０１１．０１を１６進数にするとD.4になりますのでやってみてください。
また、８進数１３．２と１６進数D.4を１０進数にしてみて
同じ数になるか確かめてみて下さい。
※n進数から10進数のヒント
→その桁の数字＊（基数^桁数-１)を足し合わせる。
２－１ ２進数の足し算と引き算
コンピュータは足し算しかできません。
なので、引き算をするには負の数が必要です。
コンピュータで負の数を表すのには２の補数を使います。
２の補数の求め方
①ビットの0と1を反転
②その数値に1を加える
例）２進数３の補数(1101)を求める。
※説明のため4ビットの領域を想定
2進数の3 0011
①ビットの反転→1100
②1を加える→1101
●具体的な引き算の流れ
例）５－３を行う場合
0101-0011 ＝0101+（-0011）
＝0101+1101←３の補数
＝10010←桁あふれしたビットを切り捨てると答えの２になる。
２－２ シフト演算と２進数のかけ算・割り算
２進数のビット列を左右にずらす操作をシフト演算と呼びます。
ビット列を左にｎずらす→２＾ｎ倍される。
ビット列を右にｎずらす→1/2＾ｎされる。
シフト演算をする際に符号を考慮するかどうかで２つのシフト操作がある。
符号を考慮しない→論理シフト
符号を考慮する→算術シフト※符号ビットが0→正の数 1→負の数
●左論理シフトのやり方
例）00101100（10進数で44）を4倍（2＾2倍）する
①ビット列を左に2ずらし、はみ出たビットを削除。
②空いたスペースを０で埋める。
001011**→101100(10進数で176）
※もしビット列をずらした際に1がはみ出たらオーバーフロー(後述）する。
●右論理シフトのやり方
例）00101100（10進数で44）を1/4（1/2＾2）する
①ビット列を左に2ずらし、はみ出たビットを削除。
②空いたスペースを０で埋める。
**101100→001011（10進数で11）
※もしビット列をずらした際に1がはみ出たら余り。
●左算術シフトのやり方
例）11100100（10進数で-28）を4倍（2＾2倍）する
①最上位ビット（符号ビット、この例では8ビット目）を
除いたビット列を左に2ずらし、はみ出たビットを削除。
②空いたスペースを０で埋める。
1110100**→1001000(10進数で-112）
※算術シフトの場合符号ビットと異なるビットがはみ出ると
オーバーフローする。
●右算術シフトのやり方
例）11100100（10進数で-28）を1/4（1/2＾2）する
①最上位ビット（符号ビット、この例では8ビット目）を
除いたビット列を右に2ずらし、はみ出たビットを削除。
②空いたスペースを符号ビットと同じビットで埋める。
1**00100→11111001(10進数で-7）
コンピュータのかけ算・割り算の考え方
●コンピュータのかけ算の考え方
×２、×２＾２→×４、×２＾３→×８などはシフト演算で
できます。でも×３や×７はどうするかについてです。
結論としては２＾ｎ同士の足し算に置き換えます。
例）
×3→2^1+2^0
×7→2^2+2^1+2^0
●コンピュータの割り算の考え方
前提として割り算がどういったものかを考える。
例えば２０÷５がどういうものかと考えると
２０は５ずつに４回分けられることを意味します。
これは言い換えると、２０から５を４回引くことができる
ということになります。
なので２＾ｎの引き算に置き換えます。
２－３ 小数点を含む数の表し方
コンピュータでは小数点を表す方法が２つある。
１、固定小数点数→ビット列のどの位置に小数点があるかを
暗黙的了解として扱う表現方法。
例）
●８桁のビット列で頭から５ビットを整数とする
→00000. 000
整数部 小数部
●最下位ビットの右側を小数点とする
→整数部のみを表せるようになる
２、浮動小数点数→指数表記を用いて数値を扱う表現方法。
表し方
正規化のやり方
よく使われる浮動小数点数の形式
２－４ 誤差
誤差とは、実際の数値とコンピュータ内部で表現できる数値との間に
生じたずれを、誤差と呼びます。
●けたあふれ誤差
演算した結果が、コンピュータの扱える最大値や最小値を超えることによって生じる誤差
最大値を超えてしまうことをオーバーフロー
最小値を超えてしまうことをアンダーフロー
＊アンダーフローはマイナスの数字ではなく0.000000000000000000000…000000000000001のような数字がなる。
●情報落ち
絶対値の大きな数と絶対値の小さな値の加減算を行った時に、
絶対値の小さな値が計算に反映されないことによって起こる誤差
例）仮数部を４で表す浮動小数点数があったとする。
次の足し算をする0.1234×10＾４+0.1234×10＾-４
＝0.123400001234×10＾４
正規化すると0.1234×10＾４になり有効桁からはみ出してしまうので
小さな数の方はなかったことになってしまいます。
●打切り誤差
円周率のように延々続く計算処理を、完了まで待たずに途中で打ち切ることによって生じる誤差
●けた落ち
絶対値がほぼ等しい数値同士の差を求めた時に、有効なけた数が
大きく減ることによって生じる誤差
●丸め誤差
表現できる桁数を超えてしまったがために、最小桁より小さい部分について、四捨五入や切上げ、切捨てなどを行うことによって生じる誤差